Retour sur la conjecture de Poincaré

Posted by J-P in Généralités, Science | Leave a comment

Je soulignais hier la percée scientifique de 2006 selon la revue Science, soit la solution de la célèbre conjecture de Poincaré parmi la liste des 10 plus grandes avancées scientifiques de l’année. Mais j’écrivais que la conjecture de Poincaré n’était pas facile à démystifier.

D’abord, Henri Poincaré était un homme passionné de mathématiques, ce qui explique pourquoi il a tant marqué ce domaine. On s’en rend compte dans quelques unes de ses citations (en anglais, même si le monsieur est français):

“The scientist does not study mathematics because it is useful; he studies it because he delights in it, and he delights in it because it is beautiful. If nature were not beautiful, it would not be worth knowing and life would not be worth living. And it is because simplicity, because grandeur, is beautiful that we preferably seek simple facts, sublime facts, and that we delight now to follow the majestic course of the stars.”

C’est avec la logique que nous prouvons et avec l’intuition que nous trouvons.

Douter de tout ou tout croire sont deux solutions également commodes, qui l’une et l’autre nous dispensent de réfléchir.

Ainsi, nous savons que Poincaré est un des plus grands mathématiciens de l’histoire, mais qu’est-ce qu’une conjecture? C’est tout simplement une hypothèse en mathématiques, une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n’a encore pu démontrer ou réfuter.

À présent, pour compléter les informations discutées hier, voici une autre explication simplifiée de la conjecture de Poincaré qui saura rejoindre, je l’espère, d’autres néophytes en la matière.

Médaille Fields: la conjecture de Poincaré démontrée par Grégori Perelman

Les grands médias mettent en avant l’herméticité de la conjecture de Poincaré , on peut toutefois expliquer très shématiquement de quoi il s’agit:

Commençons par la dimension 1. Sur une feuille de papier, tracez une ligne raisonnablement sinueuse, sans qu’elle ne se recoupe, puis terminez-la en revenant au point de départ. Bien. Cette ligne fermée, imaginons que ce soit un élastique : il est facile de se convaincre qu’on peut la déformer sans la briser pour obtenir un cercle. Et bien voilà la conjecture de Poincaré en dimension 1 (1, c’est ce qu’on appelle la dimension d’une ligne, en mathématiques).

Passons en dimension 2. Là, il faut faire un petit effort d’imagination. Notre élastique devient alors une sorte de patate, dans l’espace, aussi déformée que vous le voulez, avec des bosses, des creux, un peu comme les personnages du dessin animé «Les Barbapapas», mais sans trou. Ce qui nous intéresse, c’est la peau de cette patate, sa surface. Et bien on peut la déformer, cette surface, en imaginant qu’elle soit élastique, pour qu’elle devienne un beau ballon bien rond, c’est-à-dire une sphère. Voilà la conjecture de Poincaré en dimension 2 (qui est la dimension d’une surface, en mathématiques). La conjecture de Poincaré s’énonce en toute dimension: 3,4, etc. On a démontré qu’elle était vraie en dimensions 1,2, vous en êtes maintenant convaincus, mais aussi en dimensions 4,5, et toutes les dimensions supérieures.

Mais il manquait la dimension 3. Depuis 1904 :C’est ce manque qu’a comblé Grégori Perelman.
Il faut imaginer qu’on a un volume (c’est-à-dire un objet de dimension 3), plongé dans l’espace à 4 dimensions. Qu’est-ce que l’espace à 4 dimensions, me direz-vous ? . On peut répondre que c’est l’espace-temps, mais on n’est pas tellement plus avancé… En tout cas, en maths, cela existe. On a des espaces de n’importe quelles dimensions. Donc imaginons un «volume», dans l’espace à 4 dimensions, qui soit raisonnablement bosselé, et surtout sans trou. Et bien on peut le déformer pour qu’il devienne une sphère de dimension 3.

Mais qu’est-ce qu’une sphère de dimension 3 ? Peut-être est-ce exactement l’espace où nous vivons …
Très approximativement , voilà la conjecture émise par l’immense mathématicien Henri Poincaré.(” la démonstration nous mènerait trop loin ” disait -il avec beaucoup de clairvoyance)

Un siècle plus tard , Gregori Perelman a démontré cette conjecture.

Les mathématiciens du monde entier ont validé la démonstration, et c’est pour cela qu’ils ont attribué une médaille Fields à Grégory Perelman. Qui s’en moque et préfère cueillir des champignons dans ses forêts russes!

Il a refusé la médaille. Il aurait même aussi refusé une récompense que lui proposait un institut de mathématiques (un million de dollars), au motif qu’en Russie, l’argent génère toujours la violence.

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