L’avancée scientifique de l’année

Posted by J-P in Généralités, Science | Leave a comment

La revue “Science” a présenté le classement des dix principales avancées scientifiques de l’année. Celle la plus marquante se retrouvant en tête de liste est la résolution par le mathématicien russe Grigori Perelman d’un problème mathématique vieux de plus de cent ans, la conjecture de Poincaré.

Cet épineux problème de topologie mathématique est très difficile à comprendre pour ceux qui ne sont pas mathématiciens. La conjecture de Poincaré s’énonce ainsi: toute variété compacte de dimension n=3 (ou plus), sans bord et simplement connexe, est homéomorphe à une sphère de dimension n. Je ne sais pas pour vous, mais ce n’est absolument pas clair pour moi. En effet, je n’ai jamais fait de mathématiques poussées à ce point, alors j’ai fait des recherches pour essayer de comprendre la fameuse percée scientifique.

Prenez une pomme, et imaginez un ruban autour de cette pomme. En faisant glisser le ruban tout doucement, il est possible de le comprimer en un point de la pomme, sans couper le ruban ni le faire quitter la surface de la pomme. Prenez maintenant un anneau, et imaginez un ruban enfilé autour de l’anneau. Cette fois, il est impossible, sans couper le ruban ou l’anneau, de réduire juste par glissement et compression le ruban en un point. En langage mathématique, on dit que la pomme est une surface simplement connexe, alors que l’anneau ne l’est pas.

Poincaré savait il y a un peu moins d’un siècle que cette propriété caractérisait topologiquement la sphère parmi les surfaces de l’espace. Autrement dit, si une surface (fermée) de l’espace est simplement connexe, elle peut être déformée continûment en la sphère (une déformation continue peut être assimilée à ce que l’on est capable de réaliser avec de la pâte à modeler, sans couper une boule de pâte en deux). Poincaré posa alors en 1904 la question suivante : est-ce que cette propriété caractérise encore la sphère 3-dimensionnelle dans l’espace à 4 dimensions, ou plus généralement la sphère n-dimensionnelle dans l’espace à (n+1) dimensions. En langage plus mathématique :
Est-ce qu’une variété compacte de l’espace à n+1 dimensions est homéomorphe à la sphère n-dimensionnelle?

Je commence à saisir un peu plus de quoi il en retourne, mais je suis loin de la lumière sur l’exploit du mathématicien. En continuant mes recherches, j’ai trouvé ce texte explicatif à propos de la conjecture de Poincaré sur le site de Futura Sciences. Je ne perdrai pas mon temps à tenter de vous répéter tout cela dans mes mots, mais si vous voulez connaitre de quoi il en retourne dans des mots plus accessibles pour le commun des mortels je vous le recommande grandement.

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